给定双曲线x2?y22＝1．（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨

给定双曲线x2?y22＝1．（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）
将（1）式代入双曲线方程，得：（2-k2）x2+（4k2-2k）x-4k2+4k-3=0，（2）
又设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P(
.

x ，
.

y )，
则x1，x2必须是（2）的两个实根，所以有x1+x2＝
4k2?2k
k2?2 (k2?2≠0)．
按题意，
.

x ＝
1
2 (x1+x2)，∴
.

x ＝
2k2?k
k2?2 ．
因为(
.

x ，
.

y )在直线（1）上，所以
.

y ＝k(
.

x ?2)+1＝k(
2k2?k
k2?2 ?2)+1＝
2(2k?1)
k2?2 ．
再由
.

x ，
.

y 的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为
8(
.

x ?1)2
7 ?
4(
.

y ?
1
2 )2
7 ＝1，这就是所求的轨迹方程．

（2）设所求直线方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线方程，整理得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0，（3）
设Q1(
.

x 1，
.

y 1)，Q2(
.

x

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