圆、比例知识点

圆、比例知识点

圆的知识点总结：
1、圆是定点的距离等于定长的点的集合


2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合


3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合


4、同圆或等圆的半径相等


5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆


6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线


7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线


8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线


9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。


10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧


11、推论1：


①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧


②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧


③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧


12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等


13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形


14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等


15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等


16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半


17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等


18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90暗脑仓芙撬缘南沂侵本?


19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形


20、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角


21、①直线L和⊙O相交 d﹤r


②直线L和⊙O相切 d=r


③直线L和⊙O相离 d﹥r


22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线


23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径


24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点


25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心


26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角


27、圆的外切四边形的两组对边的和相等


28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角


29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等


30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等


31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项


32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项


33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等


34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上


35、①两圆外离 d﹥R r


②两圆外切 d=R r


③两圆相交 R-r﹤d﹤R r(R﹥r)


④两圆内切 d=R-r(R﹥r)


⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)


36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦


37、定理：把圆分成n(n≥3):


⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形


⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形


38、定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆


39、正n边形的每个内角都等于（n-2）?80埃痭


40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形


41、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长


42、正三角形面积√3a／4 a表示边长


43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360埃?


因此k (n-2)180埃痭=360盎╪-2）(k-2)=4


44、弧长计算公式：L=n兀R／180


45、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2


46、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R r)




比例的知识点总结：
比的意义：
（1）两个数相除又叫做两个数的比
（2）“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
（3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
（4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
（5）比的后项不能是零。
（6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
求比值和化简比：求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
比例尺：图上距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
按比例分配：
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
比例的意义：
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
比和比例的区别:
比表示两个量相除的关系，它有两项（即前项和后项）比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个前项和两个后项）
比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k（一定）
成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k（一定）

一、圆及圆的相关量的定义（28个） 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 二、有关圆的字母表示方法（7个） 圆--⊙ 半径—r 弧--⌒ 直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—c 面积—s 三、有关圆的基本性质与定理（27个） 1.点p与圆o的位置关系（设p是一点，则po是点到圆心的距离）： p在⊙o外，po＞r；p在⊙o上，po＝r；p在⊙o内，po＜r。 2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。 9.直线ab与圆o的位置关系（设op⊥ab于p，则po是ab到圆心的距离）： ab与⊙o相离，po＞r；ab与⊙o相切，po＝r；ab与⊙o相交，po＜r。 10.圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。 11.圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为r和r，且r≥r，圆心距为p）： 外离p＞r+r；外切p=r+r；相交r-r＜p＜r+r；内切p=r-r；内含p＜r-r。 四、有关圆的计算公式 1.圆的周长c=2πr=πd 2.圆的面积s=πr² 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积s=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积s=πrl 五 圆的方程 1.圆的标准方程 在平面直角坐标系中,以点o(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 2.圆的一般方程 把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是 x^2+y^2+dx+ey+f=0 和标准方程对比,其实d=-2a,e=-2b,f=a^2+b^2 相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r. 六 圆与直线的位置关系判断 平面内,直线ax+by+c=o与圆x^2+y^2+dx+ey+f=0的位置关系判断一般方法是 讨论如下2种情况: (1)由ax+by+c=o可得y=(-c-ax)/b,[其中b不等于0], 代入x^2+y^2+dx+ey+f=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0. 利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下: 如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交 如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切 如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离 (2)如果b=0即直线为ax+c=0,即x=-c/a.它平行于y轴(或垂直于x轴) 将x^2+y^2+dx+ey+f=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1<x2 当x=-c/a<x1或x=-c/a>x2时,直线与圆相离 当x1<x=-c/a<x2时,直线与圆相交 当x=-c/a=x1或x=-c/a=x2时,直线与圆相切