初二数学相似形（3）

如图，正方形ABCD，P为对角线上一点，做PF⊥CD交CD于F，过P点做PE⊥BP，交CD于E，求证DF=EF

两条辅助线,连PD,作PG垂直于BC于G
先证PBG和PEF全等,(PG=PF,直角相等,∠BPG+∠GPE=90°,∠GPE+∠EPF=90°,∠BPG=∠EPF)
再证DPC和BPC全等,边角边
所以PD=PE,等腰三角形三线合一,所以DF=EF

过点P作PG⊥BC垂足为G ∵PF⊥CD PG⊥BC 四边形ABCD为正方形 ∴四边形PGCF为正方形 CB=CF ∴CG=CF ∴BG=DF ∵四边形PGCF是正方形 ∴PG=CF∠PGB=∠PFE=90° ∵∠BPE=90°=∠FPG ∠GPE为公共角 ∴∠BPG=∠FPE ∴△BPG≌△FPE ∴BG=EF DF=EF

因PF⊥CD， PE⊥BP 故角PBC=角PED 连接PD 因角ABP=角ADP 因ABCD为正方形 故角PDE=角PBC 即角PDE=角PED 即PDE为等腰三角形 而PF⊥DE 故DF=EF 4

方法一：①证明：连接PD. 　　∵四边形ABCD是正方形， 　　∴AC平分∠BCD，CB=CD， 　　∴△BCP≌△DCP. 　　∴∠PBC=∠PDC，PB=PD. 　　∵PB⊥PE，∠BCD=90°， 　　∴∠PBC+∠PEC= 　　360°-∠BPE-∠BCE=180° 　　∴∠PED=∠PBC=∠PDC.∴PD=PE. 　　∵PF⊥CD,∴DF=EF. 　　②PC-PA=■CE. 　　证明如下：过点P作PH⊥AD于点H. 　　由①知：PA=■PH=■DF=■EF，PC=■CF. 　　∴PC-PA=■(CF-EF). 　　即PC-PA=■CE. 　　方法二： 　　①证明：过点P作GH⊥AD于H，交BC于点G. 　　∵AC是正方形ABCD的对角线，且PF⊥CD. 　　∴GB=HA=HP=DF. 　　∵PB⊥PE,∴∠GPB+∠GPE=90°. 　　∵∠GPE+∠EPF=90°, 　　∴∠EPF=∠BPG. 　　又∵∠PFE=∠PGB=90°, 　　∴△PEF≌△PBG. 　　∴BG=EF.∴DF=EF. 　　②PC-PA=■CE. 　　证明如下:过点E作ET⊥HG交PC于点K. 　　由①知:HP=DF=EF=PT. CK=■CE. 　　又∵∠APH=∠KPT=45°,∠AHP=∠KTP=90°. 　　∴△PKT≌△PAH.∴PA=PK. 　　∴PC-PA=PC-PK=CK=■CE.

因为DF是正方形ABCD的对角线…角BDC为45度…有因为PE垂直PB所以三角形PDE为等边直角三角形…DE为斜边…PF垂直DE所以DF=EF

连接PD，角PBC+角BPC+角BCP=180，角BPC+角CPE=角BPE=90，角BCP=45，所以角PBC=45+角CPE。 由于在P正方形对角线上，所以有角PBC=角PDC。 对于三角形PEC，有角PEF=角CPE+角PCE=角CPE+45。 所以有角PBC=角PEF。即角PED=角PDE，所以三角形PDE为等腰三角形，有PF⊥CD，即有DF=EF