1)求证f(x)是R上的增函数
2）若g(m^2-m-6)+g(m-3)<0,求实数m的取值范围
已知函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)= f(a)+ f(b)-1成立,当x>0时,f(x)>1 ，设函数g(x)=f(x)-1
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解决时间 2021-02-07 19:47
- 提问者网友：壹玍徴戰何亽陪
- 2021-02-07 16:25
最佳答案
- 二级知识专家网友：你瞎啊撞我心上來
- 2021-02-07 17:29
1.任取x1>x2
由f(a+b)= f(a)+ f(b)-1 令a=x2,b=x1-x2
有f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1
b=x1-x2>0 f(x1-x2)>1
f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1>f(x2)
所以增函数
2.令a=b=0
有f(0)=1
令a=x,b=-x
有f(0)=f(x)+f(-x)-1
所依f(x)+f(-x)=2
所以 f(-x)-1=1-f(x)
g(-x)=f(-x)-1=1-f(x)=-g(x)
所以g(x)为奇函数 也为增函数
g(m^2-m-6)+g(m-3)<0等价于
g(m^2-m-6)<-g(m-3)=g(-m+3)
等价于m^2-m-6<-m+3
m属于（-3，3）
由f(a+b)= f(a)+ f(b)-1 令a=x2,b=x1-x2
有f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1
b=x1-x2>0 f(x1-x2)>1
f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1>f(x2)
所以增函数
2.令a=b=0
有f(0)=1
令a=x,b=-x
有f(0)=f(x)+f(-x)-1
所依f(x)+f(-x)=2
所以 f(-x)-1=1-f(x)
g(-x)=f(-x)-1=1-f(x)=-g(x)
所以g(x)为奇函数 也为增函数
g(m^2-m-6)+g(m-3)<0等价于
g(m^2-m-6)<-g(m-3)=g(-m+3)
等价于m^2-m-6<-m+3
m属于（-3，3）
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- 1楼网友：落爺英雄遲暮
- 2021-02-07 21:11
(1)取b>0,则a+b>a,且由当x>0时,f(x)>1 知f(b)>1,所以f(a+b)-f(a)=f(b)-1>0，
所以f(x)是R上的增函数。
(2)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)= f(a)+ f(b)-1成立,
取b=0,则有f(0)=1,
g(m^2-m-6)+g(m-3)<0即
f(m^2-m-6)-1+f(m-3)-1<0即
f(m^2-m-6)+f(m-3)-1<1即
f[(m^2-m-6)+(m-3)]
- 2楼网友：山河已春
- 2021-02-07 19:40
1)对于任意x>y f(x)-f(y)=f(x-y+y)-f(y)=f(x-y)+f(y)-f(y)-1=f(x-y)-1
x-y>0 所以f(x-y)-1>0 f(x)>f(y) 递增
2)令a=b=0 则f(0)=1 g(0)=0
f(a+b)= f(a)+ f(b)-1
f(a+b)-1= f(a)-1+ f(b)-1
所以g(a+b)=g(a)+g(b)
又f增所以g增 g(x)<0 当且仅当x<0
g(m^2-m-6)+g(m-3)=g(m^2-9)<0
所以需要m^2-9<0 -3
- 3楼网友：归人
- 2021-02-07 19:08
1)由题意得
f(a+b)-f(a)=f(b)-1
任意x1>x2,令x1=a+b,x2=a则b=x1-x2>0;
则f(x1)-f(x2)=f(b)-1
又x>0时 f(x)>1
则f(b)-1>0
所以对任意f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在r上为增函数
2)令a=b=0
有f(0)=1
令a=x,b=-x
有f(0)=f(x)+f(-x)-1
所以f(x)+f(-x)=2
所以 f(-x)-1=1-f(x)
g(-x)=f(-x)-1=1-f(x)=-g(x)
所以g(x)为奇函数 也为增函数
g(m^2-m-6)+g(m-3)<0等价于
g(m^2-m-6)<-g(m-3)=g(-m+3)
等价于m^2-m-6<-m+3
m属于（-3，3）
- 4楼网友：长街听风
- 2021-02-07 18:33
（1）
令a=b=1
f(1×1)=f(1)+f(1)
f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
令a=b=0
f(0×0)=f(0)+f(0)
f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
（2）
f(36)
=f(2×18)
=f(2)+f(18)
=p+f(2×9)
=p+f(2)+f(9)
=p+p+f(3×3)
=p+p+f(3)+f(3)
=p+p+q+q
=2(p+q)
(3)
让a=x,b=1/x,得0=f(1)=f(x)+f(1/x)
即f(1/x)=-f(x)
- 5楼网友：你哪知我潦倒为你
- 2021-02-07 18:17
⒈证明：取一无限小的正数x，对于任意的M，都存在M＞x＞0。
f(a+b+x)-f(a+b)=f[(a+b)+x]-f(a+b)=f(a+b)+f(x)-1-f(a+b)=f(x)-1＞0，所以f(x)在实数域上单调递增！
⒉解：令a=b=0，则f(0)=1；
再令a=x，b=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)-1。
即：f(x)+f(-x)=2
∴f(-x)-1=1-f(x)
而∵g(x)=f(x)-1，
∴g(-x)=f(-x)-1=1-f(x)=-g(x)
故：g(x)为奇函数，定义域区间内单调递增。
∴g(m²-m-6)+g(m-3)＜0可变形为：
g(m²-m-6)＜-g(m-3)=g(3-m)
也即是说m²-m-6=(m+2)(m-3)＜3-m；
解之：m∈(-3，3)。
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